Éditeur(s) : HAL CCSD
Résumé : Point processes are often used as spatial or spatio-temporal distribution models of occurrences. In this PhD dissertation, we focus first on Cox processes driven by a hidden process associated with a Dirichlet process. This model corresponds to hidden occurrences influencing the stochastic intensity of observed occurrences. We generalize the notion of "Shot noise Cox process" introduced by M{o}ller and develop its bayesian analysis by a Gibbs sampler combined with a Metropolis-Hastings algorithm. We show that our MCMC method is a reversible jump one. The model takes into account a random number of hidden contributions producing effects on the observed point process intensity. Therefore the parameter space has a variable dimension. We focus the statistical inference on the estimation of the hidden contribution expected value, the hidden contribution expected number, the spatial influence and correlation parameters. The contribution equality test and contribution independence test are proposed. Applications in epidemiology and ecology are shown from extit{Rubus fruticosa} data, extit{Ibicella lutea} data and death number data in counties of Georgia, USA. Two situations are considered with respect to available data~: firstly, the spatial positions of occurrences are observed between several pairs of consecutive dates; secondly, counts are carried out over a fixed time interval in several spatial sampling units. Secondly, we focus on point processes with memory introduced by Kagan, Ogata and Vere-Jones, pioneers in statistical seismology. In fact, spatio-temporal point processes play an important role in the studies of earthquake catalogs since they consist of seismic events with their dates and spatial locations. We studied an ETAS (Epidemic Type Aftershock Sequence) model with time independent background intensity and several triggering functions taking into account previous events. We illustrate our approach with a seismicity study of the Lesser Antilles arc. A comparaison study of Gamma, Weibull, Log-Normal and modified Omori law triggering function models is also carried out. We show that the modified Omori law does not fit the Lesser Antilles seismic data and the best adjusted triggering function is the Weibull model. Consequently, the waiting time between aftershocks is weaker in the Lesser Antilles zone compared to the one in regions with seismicity described by the modified Omori law. In other words, aftershock aggregativity is higher in the Lesser Antilles region. The stochastic background intensity following a Dirichlet process centered on a spatial log-normal process is discussed.
Les processus ponctuels sont souvent utilisés comme modèles de répartitions spatiales ou spatio-temporelles d'occurrences. Dans cette thèse, nous nous intéressons tout d'abord à des processus de Cox dirigés par un processus caché associé à un processus de Dirichlet. Ce modèle correspond à des occurrences cachées influençant l'intensité stochastique des occurrences observées. Nous généralisons la notion de " Shot noise Cox process " introduite par Moller et développons le traitement bayésien par un échantillonneur de Gibbs combiné à un algorithme de Metropolis-Hastings. Nous montrons que cette méthode MCMC est à sauts réversibles. Le modèle prend en compte, en effet, un nombre aléatoire de contributions cachées influençant l'intensité du processus ponctuel observé donc a un espace paramétrique de dimension variable. Nous focalisons l'inférence statistique sur l'estimation de la valeur espérée de chaque contribution cachée, le nombre espéré de contributions cachées, le degré d'influence spatiale de ces contributions et leur degré de corrélation. Le test d'égalité des contributions et celui de leur indépendance sont ainsi développés. L'utilité en épidémiologie et en écologie est alors démontrée à partir de données de Rubus fruticosa, Ibicella lutea et de mortalité dans les cantons de Georgia, USA. En termes de données observées, deux situations sont considérées: premièrement, les positions spatiales des occurrences sont observées entre plusieurs paires de dates consécutives; deuxièmement, des comptages sont effectués, au cours d'une période fixée, dans des unités d'échantillonnage spatiales. D'autre part, nous nous intéressons aux processus ponctuels à mémoire introduits par Kagan, Ogata et Vere-Jones, précurseurs de la statistique sismologique. En effet, les processus ponctuels spatio-temporels ont une place importante dans l'étude des catalogues sismiques puisque ces derniers sont généralement constitués d'événements sismiques datés et géo-référencés. Nous avons étudié un modèle ETAS (Epidemic Type Aftershock Sequence) avec une intensité d'arrière-plan indépendante du temps et plusieurs fonctions déclenchantes permettant d'intégrer les événements antérieurs récents. Cette approche est utilisée pour étudier la sismicité de l'arc des Petites Antilles. Une étude comparative des modèles Gamma, Weibull, Log-Normal et loi d'Omori modifiée pour les fonctions déclenchantes est menée. Nous montrons que la loi d'Omori modifiée ne s'ajuste pas aux données sismiques des Petites Antilles et la fonction déclenchante la plus adaptée est le modèle de Weibull. Cela implique que le temps d'attente entre répliques dans la zone des Petites Antilles est plus faible que celui des régions à sismicité décrite par la loi d'Omori modifiée. Autrement dit, l'agrégation des répliques après un événement majeur est plus prononcée dans la zone des Petites Antilles. La possibilité d'inclure une intensité d'arrière-plan suivant un processus de Dirichlet centré sur un processus spatial log-gaussien est discutée.
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