Résumé : Dans cette thèse, nous nous intéressons à des inclusions de la forme 0∈ f( x) + F(x), où f est une application univoque et F est une application multivoque à graphe fermé. Ces dernières années, diverses méthodes de résolutions d'inclusions de ce type ont été développées par les chercheurs et, après un bref rappel sur quelques notions d'analyse (univoque et multivoque) nous en présentons quelques unes utilisant l'hypothèse de régularité métrique sur l'application multivoque. Dans la suite de notre travail, plutôt que d'utiliser cette hypothèse de régularité métrique, nous lui préférons des hypothèses directement liées à la solution qui sont la semistabilité et l'hemistabilité. Notons que la semistabilité d'une solution x̅ de l'inclusion 0∈G(x) est en fait équivalente à la sous-régularité métrique forte de l'application multivoque G en x̅ pour 0. Après avoir présenté des méthodes utilisant la semistabilité et l'hemistabilité, nous exposons les nouveaux résultats auxquels nous avons abouti qui consistent essentiellement en des améliorations des méthodes présentées. Ce que nous entendons par améliorations se décline en deux points principaux : soit nous obtenons un meilleur taux de convergence, soit nous utilisons des hypothèses plus faibles qui nous permettent d'obtenir des taux de convergence similaires.
In this thesis, we focus on inclusions in the form of 0∈ f( x) + F(x), where f is a single-valued function and F is a set-valued map with closed graph. In the last few years, various methods to solve such inclusions have been developed; after having recalled some notions in analysis (single-valued and set-valued) we present some of them using metric regularity on the set-valued map. Then, instead of considering this metric regularity assumption, we prefer assumptions which are directly connected to the solution, that are semistability and hemistability. One can note that semistabily of a solution x̅ of the inclusion 0∈G(x) is actually equivalent strong metric subregularity on the set-valued map G at x̅ for 0. After having presented some methods using semistability and hemistability, we show the new results we obtained, most of them being improvement of the presented methods. What we mean by improvement is mainly a better convergence rate on the one hand, and weaker assumptions that lead to similar convergence rate, on the other.

http://www.theses.fr/2012AGUY0594/document

Résumé : Dans cette thèse nous présentons dans un premier temps une nouvelle notion de différentiabilité généralisée pour les applications multivoques, faisant intervenir des applications positivement homogènes: la H-différentiabilité. Nous étudions la stabilité de cette notion en utilisant la convergence de Fischer, d'abord dédiée aux ensembles mais que nous avons adaptée aux applications multivoques. Nous nous intéressons ensuite à l'étude de la dépendance continue des ensembles de points fixes d'une application multivoque contractante par rapport aux données. Finalement nous analysons la convergence d'une méthode d'approximations successives de type forward-backward splitting, des zéros de la somme de deux opérateurs multivoques non monotones, jouissants notamment de propriétés de pseudo H-différentiabilité
In this thesis we present at first a new concept of generalized differentiation for setvalued mappings, involving positively homogeneous applications: the H-differentiability. We study the stability of this notion by using Fischer convergence,firstly dedicated to sets but which we have adapted to set-valued mappings. We establish the continuous dependence of fixed points sets of set-valued contraction and finally we study the convergence of a forward-backward splitting method for approximating the zeros of the sum of two non-monotone set-valued mappings, notably using properties of pseudo H-differentiability.

http://www.theses.fr/2011AGUY0490/document