Éditeur(s) : HAL CCSD
Résumé : In this thesis, we propose a method to solve some Cauchy problems with irregular or characteristic data by using the recent theories of generalized functions. We study a regular Cauchy problem and a regular Goursat problem in the first part with data on a monotonic curve. The second part is devoted to the setting up of an algebra adapted to the generalized Cauchy problem. In the third part, we give a meaning to a generalized Cauchy problem and we show that the problem admits a unique solution. We study a generalized Goursat problem in the same way. In the fourth part, we approach a characteristic Cauchy problem by a family of non-characteristic ones. The family of solutions is a representative of a generalized function we consider as the generalized solution of the problem in an appropriate algebra. We give a meaning to the characteristic Cauchy problem with irregular data by replacing it by a family of non-characteristic problems in an appropriate biparametric algebra. The first parameter permits to replace the given problem by a non-characteristic one, whereas the second parameter makes it regular. The family of solutions is a representative of a generalized function considered as the solution of the problem.
Dans cette thèse nous proposons une méthode pour résoudre certains problèmes de Cauchy à données irrégulières ou caractéristiques en utilisant les récentes théories des fonctions généralisées. Nous étudions dans la première partie un problème de Cauchy et un problème de Goursat réguliers avec des données sur une courbe monotone. La deuxième partie est consacrée à la mise en place d'une algèbre adaptée à la résolution du problème de Cauchy généralisé. Dans la troisième partie nous donnons un sens à un problème de Cauchy généralisé et nous montrons qu'il admet une unique solution. Nous étudions de même un problème de Goursat généralisé. Dans la quatrième partie nous approchons un problème de Cauchy caractéristique par une famille de problèmes non caractéristiques. La famille de solutions est un représentant d'une fonction généralisée que nous considérons comme la solution généralisée du problème dans une algèbre appropriée. Nous donnons un sens au problème de Cauchy caractéristique dans le cas de données irrégulières en le remplaçant par une famille de problèmes non caractéristiques dans une algèbre convenable dépendant de deux paramètres. Le premier paramètre permet de se ramener à un problème non caractéristique que le second rend régulier. La famille de solutions est un représentant d'une fonction généralisée que nous considérons comme la solution du problème.
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00012098

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tel-00012098
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Éditeur(s) : HAL CCSD
Résumé : I propose a self contained research paper. I hope it adds some news ideas and results to the …xed point theory in the framework of generalized functions algebras, with application to the Cauchy-Lipschitz problem in a generalized formulation including strongly irregular cases. This leads to the transport equation with distributions as coe¢ cients we wish to treat later.
https://hal.univ-antilles.fr/hal-01231272

Droits : info:eu-repo/semantics/OpenAccess
hal-01231272
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Éditeur(s) : HAL CCSD EDP Sciences
Résumé : International audience
By means of convenient regularization for an ill posed Cauchy problem, we define an associated generalized problem and discuss the conditions for the solvability of it. To illustrate this, starting from the semilinear unidirectional wave equation with data given on a characteristic curve, we show existence and uniqueness of the solution
ISSN: 0973-5348

hal-01529519
https://hal.univ-antilles.fr/hal-01529519
DOI : 10.1051/mmnp/201611207

Éditeur(s) : HAL CCSD Society for Industrial and Applied Mathematics
Résumé : International audience
In this paper, we developed a theoretical study for nonconservative sytems in one dimension in order to construct numerical schemes for solving the Riemann problem. The nonconservative form of our model system required the use of a well-adapted theory in order to give us a sense of our problem. We chose a framework of generalized functions for solving a scalar hyperbolic equation with a discontinuous coefficient $sigma_t +usigma_x approx 0$, where u is the velocity solution of a Burgers's equation. After an explicit solution of the Riemann problem, we derived Godunov split schemes for computing an approximate solution of the Cauchy problem. We applied our study to a system modeling elasticity and a system modeling gas dynamics. Some stability properties of a scheme and its convergence to a generalized solution are proved for the first model. Numerical experiments confirmed this convergence result. For the second model, calculations of flows containing weak-to-moderate shocks showed that conservation errors are reduced when the mesh is refined but were not entirely eliminated.
ISSN: 0036-1429

hal-00770266
https://hal.univ-antilles.fr/hal-00770266
DOI : 10.1137/S0036142900378637

Éditeur(s) : HAL CCSD
Résumé : International audience
8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation
Moscou, Russia

hal-01529545
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